اعداد سورئال

در ریاضیات، دستگاه اعداد سورئال (به انگلیسی: Surreal Numbers) یک کلاس محض کاملاً مرتب شامل اعداد حقیقی به علاوه اعداد بی نهایت و بی‌نهایت‌کوچک‌ها است که به ترتیب از نظر قدر مطلقی از هر عدد حقیقی مثبتی بزرگتر و کوچکتر اند. اعداد سورئال در بسیاری از خواص با اعداد حقیقی مشترکند، شامل خواصی چون عملیات حسابی معمولی (جمع، تفاضل، ضرب و تقسیم)؛ به علاوه این که آن ها تشکیل یک میدان مرتب را می دهند.^[الف] اگر از فرموله بندی نظریه مجموعه های فون نویمان-برنیز-گودل استفاده شود، اعداد سورئال تبدیل به میدان ترتیبی جهانی می شوند، بدین معنا که تمام میدان های ترتیبی چون اعداد گویا، اعداد حقیقی، توابع گویا، میدان لوی-چیویتا، اعداد ابرحقیقی (superreal) و اعداد فراحقیقی (hyperreal) را می توان بر اساس چنین فرموله بندی به عنوان زیرمیدانی از اعداد سورئال در نظر گرفت.^[۱] همچنین سورئال ها شامل تمام اعداد ترتیبی ترامتناهی نیز می شوند؛ چنان که حساب روی آن ها توسط عملیات طبیعی صورت می پذیرد. همچنین نشان داده شده است که (در بستر نظریه مجموعه‌های فون نویمان-برنیز-گودل) کلاس ماکسیمال میدان فراحقیقی یک ریخت با کلاس ماکسیمال میدان سورئال است؛ در نظریات، بدون استفاده از اصل انتخاب سرتاسری ممکن است این حالت ایجاد نشود، در چنین نظریاتی الزاماً سورئال ها میدان مرتب جهانی نیستند.

یادداشت‌ها

↑ در فرموله بندی اولیه با استفاده از نظریه مجموعه های فون نویمن-برنیز-گودل، سورئال‌ها تشکیل کلاسی محض می دهند، نه یک مجموعه، بنابر این عبارت میدان در اینجا دقیق نیست؛ از آنجا که تمایز مذکور اهمیت داشت، برخی مؤلفان به جای Field از FIELD جهت اشاره به کلاس محضی از خواص حسابی یک میدان استفاده کردند. با محدود سازی این ساختار به جهان گروتندیک، به مجموعه ای با یک کاردینال (که به آن کاردینال قویاً دست نیافتنی می گویند) می توان رسید. یا با استفاده از شکلی از نظریه مجموعه ها که ساختار های بازگشتی ترامتناهی بعد از تعداد مراحلی برابر با یک عدد ترتیبی شمارا متوقف می شوند نیز می توان به ساختار مجموعه ای دست یافت.

منابع

↑ Bajnok, Béla (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. ISBN 9781461466369. Theorem 24.29. The surreal number system is the largest ordered field

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Surreal Number». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

برای مطالعه بیشتر

Donald Knuth's original exposition: Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness, 1974, ISBN 0-201-03812-9. More information can be found at the book's official homepage بایگانی‌شده در ۲۷ اوت ۲۰۲۳ توسط Wayback Machine.
An update of the classic 1976 book defining the surreal numbers, and exploring their connections to games: John Conway, On Numbers And Games, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-127-6.
An update of the first part of the 1981 book that presented surreal numbers and the analysis of games to a broader audience: Berlekamp, Conway, and Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol. 1, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-130-6.
Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8، Chapter 4. A non-technical overview; reprint of the 1976 Scientific American article.
Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers", Discover, December 1995.
A detailed treatment of surreal numbers: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, 1987, ISBN 0-444-70226-1.
A treatment of surreals based on the sign-expansion realization: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers, 1986, ISBN 0-521-31205-1.
A detailed philosophical development of the concept of surreal numbers as a most general concept of number: Alain Badiou, Number and Numbers, New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (paperback), ISBN 0-7456-3878-3 (hardcover).
The Univalent Foundations Program (2013). Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. Princeton, NJ: Institute for Advanced Study. MR 3204653. The surreal numbers are studied in the context of homotopy type theory in section 11.6.

پیوند به بیرون

Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ, by A. N. Walker, an archive of the disappeared original
A gentle yet thorough introduction by Claus Tøndering
Good Math, Bad Math: Surreal Numbers, a series of articles about surreal numbers and their variations

[1] در فرموله بندی اولیه با استفاده از نظریه مجموعه های فون نویمن-برنیز-گودل، سورئال‌ها تشکیل کلاسی محض می دهند، نه یک مجموعه، بنابر این عبارت میدان در اینجا دقیق نیست؛ از آنجا که تمایز مذکور اهمیت داشت، برخی مؤلفان به جای Field از FIELD جهت اشاره به کلاس محضی از خواص حسابی یک میدان استفاده کردند. با محدود سازی این ساختار به جهان گروتندیک، به مجموعه ای با یک کاردینال (که به آن کاردینال قویاً دست نیافتنی می گویند) می توان رسید. یا با استفاده از شکلی از نظریه مجموعه ها که ساختار های بازگشتی ترامتناهی بعد از تعداد مراحلی برابر با یک عدد ترتیبی شمارا متوقف می شوند نیز می توان به ساختار مجموعه ای دست یافت.

[bajnok-2] Bajnok, Béla (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. ISBN 9781461466369. Theorem 24.29. The surreal number system is the largest ordered field

[الف]

[۱]

ن ب و بی‌نهایت ( $\infty$ )
تاریخچه	Controversy over Cantor's theory
شاخه‌های ریاضیات	Internal set theory Nonstandard analysis نظریه مجموعه‌ها Synthetic differential geometry
صوری‌سازی بی‌نهایت	اعداد اصلی اعداد ابرحقیقی Infinity + 1 اعداد ترتیبی Surreal numbers اعداد ترامتناهی بی‌نهایت کوچک‌ها Absolute Infinite
ریاضی‌دانان	گئورگ کانتور گوتفرید لایبنیتس آبراهام رابینسون

ن ب و دستگاه اعداد
مجموعه‌های شمارا	اعداد طبیعی( $\mathbb {N}$ ) اعداد صحیح( $\mathbb {Z}$ ) اعداد گویا( $\mathbb {Q}$ ) اعداد ترسیم پذیر اعداد جبری( $\mathbb {A}$ ) دوره (نظریه اعداد) Computable number Definable real number Arithmetical numbers Gaussian integer
جبرهای ترکیبی	جبر تقسیم: اعداد حقیقی( $\mathbb {R}$ ) اعداد مختلط( $\mathbb {C}$ ) چهارگان‌ها( $\mathbb {H}$ ) هشتگان‌ها( $\mathbb {O}$ )
انواع دوقسمتی	over $\mathbb {R}$ : Split-complex number Split-quaternion Split-octonion روی $\mathbb {C}$ : Bicomplex number Biquaternion Bioctonion
اعداد ابرمختلط دیگر	Dual number Dual quaternion Dual-complex number Hyperbolic quaternion شانزدهگان‌ها ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternion Multicomplex number Geometric algebra Algebra of physical space Spacetime algebra
انواع دیگر	اعداد اصلی اعداد گنگ اعداد فازی اعداد ابرحقیقی Levi-Civita field Surreal numbers اعداد ترافرازنده اعداد ترتیبی عدد پی-ادیک (p-adic solenoids) Supernatural numbers Superreal numbers
عدد List

ن ب و بی‌نهایت کوچک‌ها
تاریخچه	Adequality Leibniz's notation Integral symbol Criticism of nonstandard analysis The Analyst The Method of Mechanical Theorems اصل کاوالیری اصل کاوالیری
شاخه‌های مرتبط	Nonstandard analysis Nonstandard calculus Internal set theory Synthetic differential geometry Smooth infinitesimal analysis Constructive nonstandard analysis Infinitesimal strain theory (physics)
صوری سازی	Differentials عدد ابرحقیقیs Dual numbers Surreal numbers
مفاهیم جداگانه	Standard part function Transfer principle Hyperinteger Increment theorem Monad Internal set Levi-Civita field Hyperfinite set Law of Continuity Overspill Microcontinuity Transcendental law of homogeneity
ریاضیدانان	گوتفرید لایبنیتس آبراهام رابینسون پیر دو فرما آگوستین لویی کوشی لئونارد اویلر
کتب مرجع	Analyse des Infiniment Petits Elementary Calculus Cours d'Analyse